Calculadora del Problema de Transporte (Costo Mínimo + MODI)

Qué resuelve el problema de transporte

El problema de transporte es uno de los modelos más antiguos y útiles de la investigación de operaciones, y su pregunta es intensamente práctica: dados varios lugares que pueden ofertar un bien y varios que lo necesitan, cada ruta con su propio costo unitario de envío, ¿cuánto debe moverse por cada ruta para satisfacer toda la demanda desde la oferta disponible al menor costo total? Es la matemática detrás de distribuir producto de fábricas a bodegas, de bodegas a tiendas, de plantas de energía a regiones, o cualquier situación donde un bien homogéneo fluye de orígenes a destinos y el costo depende de la ruta. Como la estructura se repite en toda la logística, el modelo es un pilar tanto del aula como de la caja de herramientas del planificador de distribución.

Lo que hace el problema tratable y elegante es su estructura. Las únicas restricciones son que cada origen envíe exactamente su oferta y cada destino reciba exactamente su demanda, y el objetivo es una simple suma de costo de ruta por unidades enviadas.

Esa forma especial significa que el problema siempre tiene una solución óptima entera cuando las ofertas y demandas son enteras, y puede resolverse con métodos dedicados rápidos en vez de optimización de propósito general.

También significa que un problema balanceado, donde la oferta total iguala la demanda total, siempre tiene solución factible, y cualquier desbalance puede repararse agregando un origen o destino ficticio que absorba la diferencia.

Este calculador halla el plan de envíos demostrablemente óptimo para cualquier problema de transporte que ingreses. Escribe la matriz de costos con un origen por línea, lista las ofertas y las demandas, y devuelve la asignación óptima, cuántas unidades enviar por cada ruta, junto con el costo total mínimo y el número de rutas usadas. Balancea automáticamente los problemas no balanceados agregando un ficticio a costo cero y te dice cuál agregó, y maneja la degeneración que hace tropezar a las soluciones a mano. Todo corre en tu navegador y nada de lo que ingresas se guarda.

Cómo funciona este calculador, paso a paso

Empieza con la matriz de costos. Ingresa un origen por línea, y en cada línea pon el costo unitario de envío a cada destino, separados por espacios o comas, manteniendo los destinos en el mismo orden en cada línea. Luego lista las ofertas, un número por origen en el mismo orden que las líneas, y las demandas, un número por destino en el mismo orden que las columnas. El calculador abre con un ejemplo resuelto de tres orígenes y cuatro destinos ya cargado, para que veas un plan óptimo completo y su costo antes de cambiar nada.

En cuanto la entrada es válida la herramienta resuelve. Primero verifica si el problema está balanceado; si la oferta total y la demanda total difieren, agrega un origen o destino ficticio a costo cero para balancearlas y lo anota debajo del resultado. Luego construye un plan factible inicial por el método del costo mínimo y lo mejora hasta el óptimo con el método MODI, manejando cualquier degeneración en el camino. Todo el proceso es instantáneo y se vuelve a ejecutar en vivo mientras editas, así que puedes explorar cómo cambiar un costo o una oferta desplaza el plan óptimo.

El panel de resultados encabeza con el costo total mínimo, luego muestra la asignación óptima como una matriz: las filas son los orígenes, las columnas son los destinos, y cada celda es cuántas unidades enviar por esa ruta, con un punto donde una ruta no se usa. Los totales de oferta y demanda enmarcan la matriz para que verifiques que cada origen se vacía y cada destino se llena. Debajo, una nota indica si el problema estaba balanceado o cuál ficticio se agregó, y un gráfico desglosa el costo total por origen. Descarga un PDF o CSV del plan o compártelo; todo ocurre de forma local.

Cómo el solucionador llega al óptimo

El calculador usa el enfoque de dos etapas que es estándar para el problema de transporte, porque la estructura recompensa un método especializado mucho más eficiente que lanzar el símplex general. La primera etapa produce un plan de inicio factible: el método del costo mínimo busca la ruta disponible más barata, envía lo que la oferta y la demanda de esa ruta permiten, tacha lo que se agota y repite hasta asignar todo. Esto da un plan que ya respeta cada oferta y demanda, y al favorecer rutas baratas suele empezar cerca del óptimo, aunque rara vez es óptimo por sí solo.

La segunda etapa es el método MODI, que convierte un plan factible en el óptimo. Asigna a cada origen y cada destino un potencial, elegido de modo que para cada ruta realmente usada el potencial del origen más el del destino sea igual al costo de esa ruta. Con esos potenciales, evalúa cada ruta no usada: si el costo de la ruta es menor que la suma de sus dos potenciales, enviar unidades por ella bajaría el costo total, así que el plan aún no es óptimo.

El método entonces traza un ciclo cerrado que alterna entre rutas usadas, desplaza tantas unidades como sea posible por ese ciclo hacia la ruta que mejora y recalcula. Cuando ninguna ruta no usada gana a sus potenciales, el plan es óptimo y el método se detiene.

La degeneración, cuando hay muy pocas rutas en uso para calcular los potenciales, se maneja insertando una ruta de cero unidades, lo que este calculador hace automáticamente para que el proceso nunca se atasque.

Cinco ejemplos resueltos que puedes seguir

Ejemplo 1: el problema balanceado por defecto

El calculador abre con tres orígenes de oferta 35, 50 y 40 y cuatro destinos de demanda 45, 20, 30 y 30, un problema balanceado ya que ambos totalizan 125, con la matriz de costos mostrada. El plan óptimo envía a un costo total mínimo de 1,020. Al leer la asignación, puedes ver qué rutas llevan unidades y cuáles quedan vacías, y que cada origen se envía por completo y cada destino se abastece por completo. Este es el problema canónico de libro de texto, y es bueno para cambiar un solo costo y observar cómo el ruteo óptimo y el costo total se desplazan en respuesta.

Ejemplo 2: la oferta supera la demanda

Supón que los orígenes pueden ofertar más de lo que los destinos necesitan. Ingresa ofertas que totalicen más que las demandas, y el calculador balancea el problema agregando un destino ficticio cuya demanda iguala el excedente y cuyo costo de envío es cero desde cada origen. El plan óptimo entonces rutea las unidades genuinamente necesarias al menor costo y envía la oferta sobrante al ficticio. Al leer el resultado, las unidades asignadas a ese destino ficticio son exactamente la oferta que conviene dejar sin enviar, lo que te dice no solo cómo enviar sino cuánta capacidad es excedente y dónde está.

Ejemplo 3: la demanda supera la oferta

Ahora lo contrario: los destinos necesitan más de lo que los orígenes pueden proveer. El calculador agrega un origen ficticio cuya oferta iguala el faltante, de nuevo a costo cero, y resuelve. Las unidades que el plan óptimo toma de ese origen ficticio son la demanda que no puede satisfacerse, y su ubicación te dice qué destinos quedan cortos en el plan de mínimo costo. Esto es valioso en la práctica, porque cuando no puedes satisfacer a todos el modelo muestra la forma más barata de asignar lo que tienes y hace explícito el faltante inevitable en vez de esconderlo.

Ejemplo 4: un caso pequeño verificable a mano

Prueba un problema de dos orígenes y dos destinos con costos 4 y 6 en la primera fila y 5 y 3 en la segunda, ofertas 20 y 30, y demandas 10 y 40. El método del costo mínimo llena primero la ruta más barata, el segundo origen al segundo destino a costo 3, y el óptimo resulta en un costo total de 190. Un caso tan pequeño puede verificarse a mano en un minuto, lo que lo hace una buena forma de confirmar que lees la matriz de asignación correctamente antes de confiar en la herramienta en un problema mayor donde verificar a mano es poco práctico.

Ejemplo 5: leer el desglose de costos

Para cualquier problema resuelto, el gráfico muestra cómo el costo total se divide entre los orígenes, la suma de unidades enviadas por costo para las rutas de cada origen. Esta suele ser la vista gerencial más útil: te dice qué punto de oferta representa la mayor parte de la cuenta de envío, lo que puede señalar dónde una reducción de costo, un proveedor más cercano o un cambio de capacidad ahorraría más. La matriz de asignación dice cómo enviar; el desglose de costos dice a dónde va el dinero, y leerlos juntos convierte el óptimo de un solo número en un plan de distribución accionable.

Tres consejos de experto para la planeación de distribución

Balancear la oferta y la demanda

Un problema de transporte solo puede resolverse una vez que la oferta total iguala la demanda total, porque la solución debe enviar cada unidad de oferta y llenar cada unidad de demanda, lo que es imposible si los dos totales difieren.

Los problemas reales con frecuencia están no balanceados, una red de plantas con más capacidad que pedidos, o un conjunto de tiendas cuyas necesidades exceden lo que las bodegas contienen, así que balancear es un primer paso rutinario y no una excepción.

La técnica estándar es agregar un ficticio, un origen o destino artificial que existe solo para absorber el desajuste, con un costo de envío de cero en cada una de sus rutas de modo que cambie la factibilidad del problema sin cambiar su costo real.

Cuál ficticio agregar depende de la dirección del desbalance, y la interpretación de sus envíos es donde está el valor práctico. Cuando la oferta supera la demanda, se agrega un destino ficticio con una demanda igual al excedente; las unidades que el plan óptimo le envía son la oferta más barata de dejar sin enviar, y su origen te dice qué ubicación tiene la capacidad en exceso.

Cuando la demanda supera la oferta, se agrega un origen ficticio con una oferta igual al faltante; las unidades tomadas de él son la demanda que no puede satisfacerse, y su destino te dice quién queda corto. Este calculador detecta el desbalance, agrega el ficticio correcto automáticamente, resuelve la versión balanceada e indica en la nota cuál ficticio usó, así que obtienes tanto el plan óptimo para las rutas reales como una lectura clara del excedente o el faltante.

Tratar el ficticio como informativo y no como un mero arreglo técnico es lo que convierte un problema no balanceado en una idea de capacidad o servicio.

Un programa lineal especial y bien portado

El problema de transporte es formalmente un programa lineal: minimizar el total de costo por unidades sobre todas las rutas, sujeto a que cada origen envíe su oferta y cada destino reciba su demanda, con todos los envíos no negativos.

En principio podrías dárselo al método símplex general, el motor detrás de la calculadora de programación lineal, y obtener la misma respuesta. Pero su estructura es tan especial que merece y recompensa su propio método, por eso tiene uno.

La matriz de restricciones tiene una forma de red particular en la que cada variable aparece en exactamente dos restricciones, una de oferta y una de demanda, y esa forma es lo que el símplex de transporte y MODI explotan para resolver el problema con mucho menos trabajo que el algoritmo general.

Esa estructura también entrega una propiedad que los programas lineales generales no garantizan: la integralidad. Siempre que las ofertas y demandas son enteras, el plan de envíos óptimo sale entero automáticamente, sin necesidad de la maquinaria más dura de la programación entera. Esto no es suerte; se sigue de una característica profunda de la estructura de red, y es por eso que puedes confiar en que las asignaciones del calculador sean cantidades enviables y no fracciones que habría que redondear.

El problema de transporte también es el padre de dos parientes cercanos: el problema de asignación, que es un problema de transporte donde cada oferta y demanda es uno, y el problema de transbordo, que permite nodos intermedios que reciben y envían.

Reconocer el problema de transporte como un programa lineal especialmente estructurado es lo que lo conecta con la caja de herramientas de optimización más amplia mientras explica por qué recibe un solucionador dedicado, y sus potenciales tipo precio sombra son la misma información dual que el programa lineal general produciría.

Errores comunes en los modelos de transporte

Un puñado de errores se repite y produce resultados equivocados o confusos. Vigílalos.

• Olvidar balancear. Resolver sin totales iguales no tiene sentido. El calculador balancea automáticamente, pero si balanceas a mano, agrega el ficticio del lado correcto.
• Ignorar los envíos del ficticio. Las unidades en una fila o columna ficticia son información real, tu excedente o faltante, no solo relleno que descartar.
• Matriz desalineada. Cada fila de costos debe listar un costo por destino en el mismo orden, y las ofertas y demandas deben coincidir con filas y columnas. Una entrada corrida resuelve un problema distinto en silencio.
• Detenerse en el plan inicial. Un inicio de esquina noroeste o costo mínimo es factible pero por lo general no óptimo. Debe mejorarse hasta la optimalidad, lo que esta herramienta hace; un plan por sí solo no es la respuesta.
• Confundir costo con cantidad. La matriz contiene costos unitarios, mientras que el resultado contiene unidades enviadas. Ingresar cantidades donde van costos invierte todo el problema.
• Suponer una solución única. Algunos problemas tienen varios planes óptimos con el mismo costo total. Una asignación distinta pero igualmente óptima no es un error.
• Leer un envío fraccionario como válido. Con ofertas y demandas enteras el óptimo es entero; una fracción señala un error de tecleo en la entrada, no un plan real.

Dónde encaja este modelo en las herramientas

El problema de transporte está en el grupo de optimización de la investigación de operaciones, y el hub de Investigación de Operaciones lo agrupa con los modelos que comparten su ADN.

Es un programa lineal especialmente estructurado, así que cuando tu problema es genuinamente sobre enviar de orígenes a destinos al mínimo costo, esta herramienta dedicada lo resuelve más directamente que el símplex general dando el mismo óptimo; cuando tu problema tiene otra estructura, la calculadora general de programación lineal es la opción correcta.

El problema de asignación, emparejar agentes con tareas uno a uno, es el caso especial del problema de transporte donde cada oferta y demanda es uno, y recibe su propia calculadora porque un método aún más rápido encaja en ese caso.

Más allá del grupo de optimización, el modelo de transporte se conecta con las herramientas de cadena de suministro por las decisiones que informa y consume. Las ofertas que ingresas suelen venir de posiciones de capacidad o inventario calculadas en otra parte, y las demandas de pronósticos; el ruteo óptimo que produce alimenta las decisiones de distribución y logística que aborda el silo de cadena de suministro.

Donde el problema de transporte halla el plan de envíos estático más barato, la teoría de colas y los modelos estocásticos manejan el tiempo y la variabilidad de los flujos por la red, y la estructura de costos que optimiza es justo el tipo de cifra que retroalimenta las decisiones de diseño de red y localización de instalaciones. Visto así, es el núcleo cuantitativo de la distribución a mínimo costo, un eslabón en la cadena del pronóstico a la capacidad al ruteo.

Vuelve al hub de Investigación de Operaciones para el conjunto completo de modelos.

El origen del modelo

El problema de transporte tiene un linaje distinguido que refleja el nacimiento de la optimización misma.

Fue formulado por primera vez por Frank Hitchcock en 1941, por lo que a veces se le llama el problema de Hitchcock, y un trabajo estrechamente relacionado lo hizo de forma independiente el matemático soviético Leonid Kantorovich, cuyo estudio de la asignación óptima de recursos, incluido el transporte de bienes, fue parte del cuerpo de trabajo por el que compartió el Nobel de economía de 1975.

Tjalling Koopmans, que compartió ese premio, también trabajó en el transporte de carga durante la Segunda Guerra Mundial, y la relevancia bélica del problema para mover materiel de forma eficiente ayudó a impulsar el interés temprano en él.

Los métodos de solución dedicados llegaron poco después de la teoría general de la programación lineal. Una vez que George Dantzig desarrolló el método símplex a fines de la década de 1940, su especialización a la estructura de red del problema de transporte siguió pronto, y los métodos MODI y del paso secuencial se volvieron herramientas de enseñanza estándar porque hacen visible la lógica de la optimización sobre una simple cuadrícula.

El problema perdura en los planes de estudio y en la práctica por las mismas razones que al principio: captura una pregunta logística universal en una forma simple de resolver a mano pero rica para enseñar las ideas centrales de factibilidad, optimalidad y dualidad.

Esa combinación, un problema real, una estructura limpia y un método transparente, es la razón de que el problema de transporte siga siendo una primera parada en la investigación de operaciones décadas después de que Hitchcock lo escribiera, y de que una calculadora que lo resuelve a la optimalidad sea una herramienta de planeación genuinamente útil y no solo un ejercicio académico.

Las tres formas de construir un plan inicial

Todo método para el problema de transporte comienza construyendo un plan factible inicial, uno que satisfaga todas las ofertas y demandas sin preocuparse aún del costo, y tres métodos clásicos lo hacen con sofisticación creciente. El método de la esquina noroeste es el más simple: empieza en la celda superior izquierda, envía lo que su oferta y demanda permitan, muévete a la derecha o abajo conforme cada una se agota, y continúa hasta la esquina inferior derecha. Ignora el costo por completo, así que es el más rápido de aplicar a mano pero suele producir el plan inicial más caro, dejando el mayor trabajo a la etapa de optimización.

El método del costo mínimo, que este calculador usa, mira el costo mientras construye el plan: repetidamente halla la celda más barata que aún tenga oferta y demanda disponibles, envía lo más posible ahí y tacha lo que se agote. Como llena rutas baratas primero, suele empezar mucho más cerca del óptimo que la esquina noroeste.

La aproximación de Vogel (VAM) va aún más lejos, y a menudo es la mejor de las tres: para cada fila y columna calcula una penalización, la diferencia entre los dos costos más bajos, que mide cuánto extra pagas si pierdes la ruta más barata, luego asigna a la celda más barata de la fila o columna con la mayor penalización.

VAM con frecuencia llega al plan óptimo de una vez o a una iteración de él.

El punto importante es que la elección del método de inicio no cambia la respuesta final. Los tres producen un plan factible, y la etapa de optimización MODI lleva cualquier plan factible al mismo costo óptimo; los métodos difieren solo en cuántos pasos de optimización quedan.

Este calculador optimiza hasta la optimalidad verdadera sin importar el inicio, así que obtienes el plan de mínimo costo garantizado sin importar si el plan inicial de costo mínimo resultó óptimo. Conocer los tres métodos sigue importando para las tareas, donde a menudo se te pide aplicar uno específico, y para la intuición de por qué un buen inicio ahorra trabajo.

La idea de penalización detrás del método de Vogel vale la pena aun cuando una computadora hace la aritmética: las rutas a vigilar no son simplemente las baratas sino aquellas donde ser forzado a la segunda mejor opción cuesta más.

Plantear un problema de distribución real

Traducir una situación logística real a un modelo de transporte es sobre todo cuestión de decidir qué son realmente los orígenes, destinos y costos, y hacerlo de forma consistente.

Los orígenes son donde el bien se origina y tiene una cantidad fija disponible, plantas, bodegas, puertos o proveedores, y la oferta de cada uno es cuánto puede enviar en el período de planeación.

Los destinos son donde se consume y tiene una cantidad requerida, tiendas, regiones, clientes o plantas aguas abajo, y la demanda de cada uno es cuánto necesita en el mismo período. Mantener el período consistente, una semana, un mes, una temporada, importa, porque la oferta, la demanda y el costo deben referirse al mismo horizonte o el plan no tiene sentido.

Las entradas de costo son la parte más sutil, porque deben ser por unidad y comparables entre todas las rutas. La elección natural es el costo de mover una unidad de un origen dado a un destino dado, pero puede ser cualquier costo unitario lineal que quieras minimizar, costo total puesto en destino, distancia, tiempo de tránsito o carbono, siempre que uses la misma medida en todo y de verdad escale con el número de unidades.

Si una ruta es imposible, un origen que no puede servir a un destino en absoluto, dale un costo muy grande para que el optimizador la evite en vez de dejarla en blanco.

El modelo supone que el costo es estrictamente proporcional a la cantidad sin cargos fijos, sin descuentos por volumen y sin límites de capacidad en rutas individuales; cuando esas características están presentes, el modelo de transporte simple es una aproximación, y la respuesta honesta es aceptarlo como una estimación de primera instancia o pasar a un modelo de red más rico.

Por último, agrega con sensatez. Una red de distribución nacional podría tener cientos de tiendas, pero agruparlas en regiones con demanda combinada mantiene el modelo lo bastante pequeño para razonar sobre él mientras aún captura la decisión de ruteo que importa. El arte de aplicar bien el modelo es elegir un nivel de agregación lo bastante fino para ser útil y lo bastante grueso para ser tratable, y luego verificar que el plan resultante tenga sentido físico antes de actuar sobre él. Un modelo es una simplificación, y el valor de resolverlo está tanto en la estructura que te obliga a hacer explícita, quién puede servir a quién y a qué costo, como en los números específicos que devuelve.

Cuando el modelo necesita más que esto

El problema de transporte simple es deliberadamente estrecho, y conocer sus límites es parte de usarlo bien.

Supone un solo bien homogéneo, un producto intercambiable entre todos los orígenes y destinos; cuando varios productos distintos comparten una red y compiten por la misma capacidad, eso es un problema de flujo multiproducto, que necesita un modelo de red más general.

Supone que los bienes se mueven directo de un origen a un destino; cuando los envíos pueden pasar por concentradores intermedios que reciben y reenvían, el problema de transbordo extiende el modelo tratando esos concentradores como nodos que son a la vez destinos y orígenes, y también puede reducirse a un programa lineal tipo transporte pero con más estructura.

El modelo también supone capacidad ilimitada en cada ruta individual y costos puramente lineales. Cuando una ruta particular solo puede llevar cierta cantidad, un problema de transporte capacitado agrega un límite superior a cada ruta; cuando los costos incluyen cargos fijos por usar una ruta, o quiebran en umbrales de volumen, el problema se vuelve de cargo fijo o por tramos que necesita métodos enteros o mixtos.

Ninguno de estos es razón para desconfiar del modelo simple en las muchas situaciones que sí encajan, pero marcan el punto donde deberías buscar una herramienta más capaz.

Este calculador resuelve el problema de transporte clásico sin capacidad, de un solo bien y con costo lineal a la optimalidad, lo que cubre la gran mayoría de los problemas de enseñanza y una buena parte de las decisiones reales de distribución a mínimo costo; cuando tu situación tiene capacidades, concentradores o múltiples productos, trata su respuesta como una cota y línea base útil y no como el plan final.

Formato de entrada y referencia rápida

Ingresa la matriz de costos con un origen por línea y un costo unitario para cada destino en esa línea, separados por espacios o comas, manteniendo los destinos en el mismo orden entre líneas. Ingresa las ofertas como un número por origen en orden de línea, y las demandas como un número por destino en orden de columna. Los totales no necesitan coincidir; el calculador balancea automáticamente. La referencia de abajo explica cada parte del resultado.

Preguntas frecuentes

Fuentes, aviso legal y transparencia editorial

Este calculador resuelve el problema de transporte con una solución inicial de costo mínimo y el método de optimización MODI (u-v), la técnica estándar de investigación de operaciones (formulación de Hitchcock; símplex de transporte). Este calculador y esta guía son creados y revisados por el equipo de OpsCalculators; consulta nuestra Política Editorial para saber cómo se investiga, construye y prueba cada herramienta.

Los resultados son estimaciones precisas para planeación y educación, no asesoría de ingeniería certificada, y suponen un solo bien homogéneo con costos lineales independientes de la ruta; los problemas de transbordo y multiproducto necesitan un modelo más rico. Valida contra tus propios datos antes de comprometer envíos. Consulta nuestro Aviso Legal completo. OpsCalculators.com es operado por MAFHH INTERNATIONAL LTD. Tus datos se procesan en tu navegador y nunca se guardan; consulta nuestra Política de Privacidad.