Calculadora de Programación Lineal (Método Símplex)

Qué hace la programación lineal

La programación lineal es la herramienta de trabajo de la investigación de operaciones: un método para exprimir el mejor resultado posible de una situación gobernada por límites.

Describes lo que quieres en un solo objetivo, maximizar utilidad o producción, o minimizar costo, desperdicio o tiempo, enumeras las decisiones que controlas como variables, y escribes las restricciones que las acotan, sean horas de máquina, material, presupuesto o demanda.

Cada una de esas relaciones es lineal, una suma ponderada sin productos ni potencias de las variables, y esa linealidad es justo lo que hace el problema resoluble de forma rápida y confiable incluso con cientos de variables. El resultado es la única combinación de decisiones que rinde mejor sin romper ninguna regla.

El poder del método viene de un hecho geométrico. Las restricciones recortan una región factible, el conjunto de todas las decisiones que satisfacen cada límite a la vez, y como tanto la región como el objetivo son lineales, la mejor solución siempre está en una esquina de esa región y no en su interior.

Eso convierte una búsqueda infinita en una finita: examina las esquinas de forma organizada y hallarás el óptimo. El método símplex, que implementa este calculador, hace exactamente eso, caminando de esquina en esquina que mejora hasta que ninguna vecina es mejor.

En el camino produce no solo la respuesta sino los precios sombra, que te dicen lo que vale de verdad cada recurso escaso al margen.

Este calculador resuelve cualquier programa lineal que puedas escribir: elige maximizar o minimizar, ingresa los coeficientes del objetivo y lista las restricciones una por línea con una relación de menor que, mayor que o igualdad. Devuelve el valor óptimo del objetivo, el valor de cada variable de decisión, si cada restricción es activa o tiene holgura de sobra, y el precio sombra de cada restricción. Cuando tu problema tiene exactamente dos variables también dibuja la región factible y marca la esquina óptima, para que veas la geometría que describe el álgebra. Todo corre en tu navegador y nada de lo que ingresas se guarda.

Cómo funciona este calculador, paso a paso

Empieza por elegir la dirección del objetivo. Elige maximizar cuando más es mejor, utilidad, unidades producidas, margen de contribución, y minimizar cuando menos es mejor, costo, merma u horas. Luego ingresa los coeficientes del objetivo, un número por variable, separados por espacios o comas. El orden que uses aquí fija el orden de las variables en todo lo demás: si escribes tres coeficientes, la herramienta espera tres coeficientes en cada línea de restricción, en el mismo orden. El calculador abre con un ejemplo resuelto de dos variables ya cargado, un problema clásico de mezcla de productos, para que veas una solución correcta y su gráfico antes de cambiar nada.

Luego ingresa las restricciones, una por línea. Cada línea lista el coeficiente de cada variable, luego el operador relacional, luego el valor del lado derecho, por ejemplo “3 2 <= 18". Puedes usar <=, >= y = (también funcionan los símbolos y el simple < o >). No necesitas agregar las condiciones de no negatividad de que cada variable es al menos cero, porque el calculador las supone automáticamente, como hace la programación lineal estándar. Mientras escribes, la herramienta vuelve a resolver en vivo, así que el valor del objetivo, los valores de las variables y la tabla de restricciones se actualizan de inmediato, y el gráfico se redibuja en problemas de dos variables.

El panel de resultados encabeza con el valor óptimo del objetivo, luego lista cada variable de decisión con su valor óptimo. Debajo, una tabla muestra cada restricción con cuánto de su límite usa la solución, si es activa o cuánta holgura o excedente queda, y su precio sombra.

Una restricción activa es una que la solución usa por completo; su precio sombra es la mejora del objetivo que ganarías con una unidad más de ese recurso. Cuando el problema no se puede resolver la herramienta lo dice con claridad, reportando no factible cuando las restricciones se contradicen y no acotado cuando el objetivo puede crecer sin límite.

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Recorrer las esquinas: cómo trabaja el solucionador

El motor detrás de este calculador es el método símplex de dos fases, el algoritmo estándar de la programación lineal. Su fundamento es el teorema de que una solución óptima, si existe, siempre se halla en un vértice, una esquina, de la región factible. En vez de probar cada esquina a ciegas, el método símplex parte de una esquina factible y pasa repetidamente a una esquina adyacente que mejora el objetivo, deteniéndose cuando ninguna vecina es mejor, lo que por la teoría garantiza el óptimo. Cada paso es un pivoteo, una pequeña operación algebraica que mete una variable al conjunto activo y saca otra, deslizándose geométricamente por una arista de la región de un vértice al siguiente.

Las dos fases resuelven un detalle práctico. Cuando un problema solo tiene restricciones de menor o igual con lados derechos no negativos, el origen es una esquina inicial factible cómoda. Pero las restricciones de mayor o igual y de igualdad a menudo excluyen el origen, así que no hay un punto obvio por dónde empezar.

La fase uno resuelve un problema auxiliar que lleva a cero un conjunto de variables artificiales temporales, lo que sitúa al algoritmo en una esquina factible genuina; la fase dos optimiza entonces el objetivo real desde ahí.

Este calculador corre ambas fases automáticamente, así que puedes mezclar restricciones <=, >= y = libremente y aun así obtener una respuesta correcta, junto con la detección del caso no factible, cuando la fase uno no alcanza factibilidad, y del caso no acotado, cuando la fase dos puede mejorar para siempre.

Una tranquilidad sobre la velocidad: aunque una región puede tener una enorme cantidad de esquinas, el método símplex casi nunca visita más de un pequeño múltiplo del número de restricciones antes de llegar al óptimo, por eso se mantiene rápido en el tamaño de problema que una persona escribe aquí y en modelos industriales mucho mayores. Cada pivoteo también arrastra la solución en curso de forma exacta, manteniendo los valores de las variables y los precios sombra consistentes en cada paso, así que las cifras que finalmente reporta el calculador son el óptimo exacto del modelo que ingresaste y no una aproximación redondeada, salvo valores diminutos ajustados a cero por legibilidad.

Cinco ejemplos resueltos que puedes seguir

Ejemplo 1: la mezcla de productos por defecto

El calculador abre maximizando 3x₁ + 5x₂ sujeto a x₁ ≤ 4, 2x₂ ≤ 12 y 3x₁ + 2x₂ ≤ 18. El óptimo es x₁ = 2, x₂ = 6, con un objetivo de 36. La segunda y la tercera restricción son activas, usadas por completo, mientras que la primera tiene holgura, ya que x₁ = 2 está por debajo de su límite de 4. Los precios sombra son 0 para la primera restricción, 1.5 para la segunda y 1 para la tercera, lo que significa que una unidad más del segundo recurso subiría el objetivo en 1.5 y una más del tercero en 1, mientras que más del primero no vale nada porque no es el cuello de botella.

Ejemplo 2: leer el gráfico

Como ese ejemplo tiene dos variables, el calculador dibuja su región factible como un polígono y marca el óptimo en la esquina (2, 6). Sigue las aristas y verás por qué la respuesta está ahí: la línea del objetivo, inclinada por la razón 3 a 5 de sus coeficientes, se empuja lo más arriba y a la derecha que puede mientras aún toca la región, y toca por última vez en esa esquina. Este es el cuadro geométrico que el álgebra símplex calcula, y ver que ambos coinciden construye la intuición para problemas con más variables donde el cuadro no se puede dibujar.

Ejemplo 3: una minimización

Cambia el objetivo a minimizar e ingresa 2 3 con las restricciones x₁ + x₂ ≥ 10, x₁ ≤ 8 y x₂ ≤ 8. Ahora la meta es la forma más barata de cumplir un requisito de al menos diez unidades combinadas. El óptimo es x₁ = 8, x₂ = 2 con un objetivo de 22, ya que la primera variable es más barata por unidad y se empuja a su límite antes de que la segunda, más cara, cubra el faltante. La restricción de mayor o igual es activa, y la fase uno del símplex es lo que hace resoluble un problema así, porque el origen no es factible aquí.

Ejemplo 4: una mezcla de tres variables

La programación lineal no se limita a dos variables. Minimiza 2 3 1 sujeto a x₁ + x₂ + x₃ ≥ 10 y x₁ + 2x₂ ≥ 8, un pequeño problema de mezcla. El óptimo es x₁ = 0, x₂ = 4, x₃ = 6 con un objetivo de 18, porque el tercer ingrediente es la forma más barata de llenar el primer requisito mientras la segunda variable cubre más barato el segundo. Con tres variables el calculador quita el gráfico, ya que la región factible ahora vive en tres dimensiones, pero la solución numérica y los precios sombra se calculan igual que antes.

Ejemplo 5: un modelo no factible

Ingresa una sola variable con las dos restricciones x₁ ≥ 10 y x₁ ≤ 5. Ningún valor puede ser a la vez al menos diez y a lo más cinco, así que la región factible está vacía y el calculador reporta el problema como no factible en vez de devolver un número. Ver esto es útil: un resultado no factible casi siempre significa que una restricción se escribió mal o que el modelo está demasiado apretado, y es una invitación a reexaminar los límites y no una falla del método. El caso compañero, un objetivo no acotado, aparece cuando una maximización no tiene una restricción que impida crecer al objetivo.

Tres consejos de experto para un buen modelo

Precios sombra y el valor de un recurso escaso

El subproducto más útil de resolver un programa lineal es el conjunto de precios sombra, y entenderlos convierte al calculador de un solucionador en una herramienta de planeación. Un precio sombra es la tasa a la que cambiaría el objetivo óptimo si tuvieras una unidad más del recurso de una restricción dada, manteniendo todo lo demás fijo.

Si una restricción de horas de máquina tiene un precio sombra de 12, entonces una hora de máquina más subiría la utilidad óptima en 12, que es precisamente lo máximo que deberías estar dispuesto a pagar por esa hora extra.

Los precios sombra convierten la noción abstracta de un cuello de botella en un valor concreto por unidad, ordenando tus recursos por cuánto vale liberarlos.

El patrón de los precios sombra sigue una regla simple e importante. Una restricción activa, que la solución óptima usa por completo, en general tiene un precio sombra distinto de cero, porque relajarla dejaría mejorar el objetivo. Una restricción no activa, con holgura o excedente sobrante, siempre tiene precio sombra cero, porque ya tienes más de ese recurso del que el plan óptimo puede usar, así que una unidad extra no vale nada.

Por eso el calculador marca el estado de cada restricción junto a su precio sombra: los dos juntos te dicen no solo dónde se gana el dinero sino dónde agregar capacidad ayudaría y dónde no. En el ejemplo por defecto, la primera restricción queda ociosa con precio sombra cero mientras que la segunda y la tercera, ambas activas, llevan precios sombra positivos, identificándolas de inmediato como los cuellos de botella que vale la pena atacar.

Leer la tabla así es como los analistas con experiencia deciden dónde invertir, qué contrato de proveedor ampliar y cuál límite aparente no está limitando nada en realidad.

El método gráfico para dos variables

Cuando un programa lineal tiene solo dos variables todo el problema se puede dibujar en un plano, y el método gráfico es la forma más clara de construir intuición sobre lo que el algoritmo símplex hace de forma invisible en dimensiones mayores.

Cada restricción se vuelve una línea, y la desigualdad que lleva se queda con un lado de esa línea; el traslape de todos esos semiplanos, junto con el cuadrante no negativo, es la región factible, un polígono.

La función objetivo, por su parte, es una familia de líneas paralelas, una por cada valor del objetivo, y optimizar significa deslizar esa línea lo más lejos que llegue en la dirección que mejora mientras aún toca la región. El último punto que toca, siempre una esquina, es el óptimo.

Este calculador dibuja exactamente ese cuadro para problemas de dos variables: calcula el polígono intersecando las fronteras de las restricciones, sombrea la región factible y marca el vértice óptimo que halló el método símplex. Ver que el óptimo cae en una esquina, y ver qué aristas de restricción se encuentran ahí, hace tangible la noción de restricciones activas, las aristas que pasan por la esquina óptima son las activas, y sus precios sombra son distintos de cero.

También hace visuales los casos patológicos: una región vacía significa no factible, y una región abierta en la dirección que mejora significa no acotado.

Aunque los problemas reales suelen tener más de dos variables y por eso no se pueden dibujar, el cuadro de dos variables es el modelo mental que todo practicante de programación lineal lleva a los casos de mayor dimensión, donde la misma lógica de esquinas, aristas y un objetivo que se desliza sigue valiendo aun cuando ya no se pueda ver.

Dualidad: todo problema tiene una imagen espejo

Detrás de todo programa lineal hay un segundo, su dual, y la relación entre ambos es uno de los resultados más profundos y prácticos del campo. Partiendo del problema original, llamado el primal, el dual se forma convirtiendo las restricciones en variables y las variables en restricciones.

Si el primal maximiza utilidad sujeto a recursos limitados, su dual minimiza el valor total imputado de esos recursos sujeto a la condición de que el valor asignado a los recursos que usa cada producto sea al menos la utilidad del producto.

Las variables duales son, una por una, los precios sombra de las restricciones del primal, por eso los precios sombra que reporta el calculador cargan una interpretación económica clara como el valor implícito de cada recurso.

El teorema central, la dualidad fuerte, dice que cuando cualquiera de los dos problemas tiene solución óptima, el otro también, y sus valores óptimos del objetivo son exactamente iguales. La máxima utilidad que el primal puede ganar es igual al mínimo valor de recursos que asigna el dual, una afirmación de que el valor total de los recursos escasos, valuados a sus precios sombra, da cuenta de toda la utilidad.

Esto no es solo elegante; es la base del razonamiento económico que hace de la programación lineal una herramienta de decisión y no solo un ejercicio aritmético. La dualidad garantiza que los precios sombra sean consistentes, que nunca sobre ni subvaloren los recursos en conjunto, y sustenta el análisis de sensibilidad, el estudio de cuánto pueden cambiar los datos antes de que cambie el plan óptimo.

Aunque este calculador presenta la solución primal y sus precios sombra directamente, esos precios sombra son las variables duales óptimas, así que leerlos es leer gratis la respuesta al problema imagen espejo.

Dónde pueden morder los supuestos del modelo

La programación lineal descansa en supuestos que suelen ser razonables pero que a veces se rompen, y conocerlos mantiene honesto a un modelo. El primero es la proporcionalidad: la contribución de cada variable al objetivo y a cada restricción es estrictamente proporcional a su valor, así que duplicar una variable duplica su efecto, sin economías de escala, costos de preparación ni rendimientos decrecientes.

El segundo es la aditividad: el efecto total es la suma de los efectos individuales, sin términos de interacción donde dos productos juntos usen más o menos que la suma de lo que cada uno usa solo.

El tercero es la divisibilidad: las variables pueden tomar valores fraccionarios, así que el método puede devolver 2.5 unidades, lo cual está bien para toneladas de una mezcla pero no para máquinas o personas enteras.

Cuando falla la divisibilidad, porque la respuesta debe ser un número entero, el problema se vuelve programación entera, que es genuinamente más difícil y necesita otros algoritmos; redondear una solución de programación lineal puede dar una respuesta no factible o lejos del óptimo, así que debe hacerse con cuidado y verificarse.

Cuando fallan la proporcionalidad o la aditividad, por costos de preparación, saltos de precio o actividades que interactúan, la respuesta honesta es un modelo más elaborado, a veces con variables binarias o aproximaciones lineales por tramos, en vez de forzar un ajuste lineal.

El supuesto de certeza, de que todos los coeficientes se conocen exactamente, también vale la pena recordar: los datos reales se estiman, que es justo por qué importan el análisis de sensibilidad y los precios sombra, ya que muestran qué tan sensible es el plan a los números de los que estás menos seguro. Este calculador resuelve el modelo lineal con fidelidad; juzgar si el modelo lineal encaja en tu situación es trabajo del analista, y estos supuestos son la lista de verificación para ello.

Errores comunes a evitar

Un puñado de errores se repiten y producen en silencio respuestas equivocadas o engañosas. Vigílalos.

• Coeficientes desalineados. Los coeficientes de cada línea de restricción deben coincidir exactamente con el orden de variables del objetivo. Una columna corrida resuelve un problema distinto sin ningún mensaje de error.
• Olvidar una restricción. Un resultado no acotado suele significar que se dejó fuera un límite real. Todo problema práctico tiene algo que impide crecer al objetivo para siempre.
• Redondear una respuesta fraccionaria. Si las variables deben ser enteras, redondear la solución lineal puede ser no factible o subóptimo. Eso es un programa entero, no uno lineal.
• Ignorar los precios sombra. La mezcla óptima por sí sola no te dice dónde invertir. Los precios sombra ordenan los cuellos de botella; saltarlos desperdicia el resultado más accionable.
• Dirección de optimización equivocada. Maximizar un costo o minimizar una utilidad da una respuesta técnicamente correcta a la pregunta equivocada. Confirma que la dirección coincide con la meta.
• Restricciones de igualdad demasiado estrictas. Escribir = donde se quería <= o >= puede volver no factible un problema resoluble. Usa la igualdad solo cuando el requisito de verdad deba cumplirse exactamente.
• Tratar estimaciones como exactas. Los coeficientes suelen estimarse, así que un plan óptimo para un conjunto de números puede no serlo para otro. Revisa qué tan sensible es la respuesta antes de comprometerte.

De una pregunta de negocio a un modelo resoluble

La parte más difícil de usar este método rara vez es la aritmética, que el calculador maneja; es traducir una pregunta real y desordenada a las tres piezas limpias que el modelo necesita. Empieza por el objetivo preguntando qué cantidad única intenta mover de verdad la decisión, y en qué dirección.

Si un jefe de planta dice que quiere operar con eficiencia, insiste en el sustituto medible, ¿es maximizar el margen de contribución, maximizar unidades enviadas o minimizar el costo de tiempo extra?, porque el modelo optimiza exactamente una cosa y la elección cambia la respuesta.

Resiste juntar varias metas en un objetivo; si dos fines genuinamente compiten, modela el menos importante como una restricción con un umbral en vez de mezclar ambos en el objetivo, lo que enturbia los precios sombra.

Luego nombra las variables de decisión, las palancas que el tomador de decisiones realmente controla.

Suelen ser cantidades, cuántos de cada producto fabricar, cuántas horas correr cada línea, cuánto de cada ingrediente mezclar, y ayuda escribir cada una en palabras con su unidad antes de volverla símbolo, porque una variable cuya unidad no está clara tiende a producir una restricción cuyo significado tampoco lo está.

Luego escribe las restricciones recorriendo cada límite que la decisión enfrenta: los recursos que se pueden agotar, la demanda que debe cumplirse, las razones que deben mantenerse, los mínimos que exige un contrato. Cada una se vuelve una línea, y el coeficiente de una variable en esa línea es simplemente cuánto del recurso consume una unidad de esa variable.

Una disciplina útil es verificar las unidades de cada restricción como un ingeniero verifica una fórmula: el lado izquierdo y el derecho deben medir lo mismo, horas contra horas disponibles, kilogramos contra kilogramos disponibles. Una restricción que mezcla unidades es un error de modelado que el solucionador no puede detectar, porque para el algoritmo son solo números.

Por último, contrasta el plan resuelto con la intuición antes de confiar en él: si el óptimo ignora un producto que esperabas fabricar, o lleva una variable a un extremo inverosímil, eso suele ser el modelo enseñándote algo, sea una idea genuina o una señal de que falta o está mal escalada una restricción.

Leer la solución con sentido crítico, no solo aceptar el número, es lo que convierte al calculador de una máquina de respuestas en una ayuda para pensar.

Dónde encaja este modelo en las herramientas

La programación lineal es el motor general de optimización de la investigación de operaciones, y varios de los otros modelos clásicos son en realidad casos especiales de ella con otra ropa. El hub de Investigación de Operaciones los agrupa por esa razón.

El problema de transporte, enviar de orígenes a destinos al mínimo costo, y el de asignación, emparejar un conjunto con otro uno a uno, son ambos programas lineales con una estructura de red tan específica que existen algoritmos dedicados más rápidos para ellos; cuando tu problema tiene esa forma, esas herramientas lo resuelven más directamente, pero la respuesta que dan es la misma que daría el símplex general.

Cuando tu problema no encaja en una estructura especial, este calculador general de programación lineal es la herramienta correcta.

Más allá del grupo de optimización, la programación lineal se conecta con el resto de las herramientas de ingeniería industrial a través de las decisiones que informa. Los límites de recursos que ingresas como restricciones suelen venir de estudios de capacidad, y las cifras de demanda del pronóstico; el plan que produce alimenta decisiones de programación e inventario que se manejan en otra parte de la red.

El análisis de decisiones toma el relevo cuando el futuro es incierto y son las probabilidades, no restricciones fijas, las que guían la elección, y la teoría de colas responde las preguntas de capacidad que la programación lineal supone dadas. Visto así, la programación lineal está en el centro de la planeación: convierte los límites que establecen otros análisis en el único mejor plan, y sus precios sombra apuntan de vuelta a cuál de esos límites vale la pena cambiar.

Vuelve al hub de Investigación de Operaciones para el conjunto completo de modelos.

Una breve historia del método

La programación lineal como método general data de la década de 1940, y su historia está ligada tanto a la logística de guerra como a la economía de posguerra.

El paso decisivo fue la formulación del método símplex por George Dantzig en 1947, que dio al campo por primera vez un algoritmo práctico y de propósito general; el trabajo anterior de Leonid Kantorovich en la Unión Soviética había planteado problemas de optimización similares, y las dos líneas de pensamiento, junto con la interpretación económica desarrollada por Tjalling Koopmans, dieron forma a la disciplina.

Kantorovich y Koopmans compartieron un premio Nobel de economía en 1975 por esa contribución, un raro reconocimiento del impacto de una técnica esencialmente matemática en cómo se asignan los recursos.

El método se difundió rápido porque respondía una pregunta universal, cómo hacer lo más con medios limitados, y porque el algoritmo símplex resultó notablemente veloz en la práctica pese a resultados teóricos posteriores que mostraron que podía ser lento en casos peores artificiales. Esos casos peores motivaron los métodos de punto interior desarrollados en la década de 1980, que son demostrablemente eficientes y se usan junto al símplex en los solucionadores modernos de gran escala.

Para el tamaño de problema que una persona escribe en un calculador, el método símplex que usa esta herramienta es a la vez rápido y transparente, produciendo no solo el óptimo sino los precios sombra y la lógica esquina por esquina que hacen de la programación lineal una herramienta explicativa tanto como computacional.

Esa combinación de una idea geométrica clara, un algoritmo práctico y una interpretación económica limpia por la dualidad es la razón de que la programación lineal siga siendo, décadas después, el primer método de optimización que todo estudiante de investigación de operaciones aprende.

Formato de entrada y referencia rápida

Ingresa el objetivo como una fila de coeficientes, uno por variable, separados por espacios o comas, y elige maximizar o minimizar arriba. Ingresa cada restricción en su propia línea como los coeficientes de las variables en el mismo orden, luego el operador, luego el valor del lado derecho; usa ≤, ≥ o = (también se aceptan <, > y las palabras). Las variables se toman automáticamente como no negativas. La referencia de abajo resume qué significa cada parte del resultado.

Preguntas frecuentes

Fuentes, aviso legal y transparencia editorial

Este calculador resuelve programas lineales con el método símplex de dos fases y reporta los precios sombra como las variables duales óptimas, siguiendo referencias estándar de investigación de operaciones (el método símplex de Dantzig; la teoría primal-dual de la programación lineal). Este calculador y esta guía son creados y revisados por el equipo de OpsCalculators; consulta nuestra Política Editorial para saber cómo se investiga, construye y prueba cada herramienta.

Los resultados son estimaciones precisas para planeación y educación, no asesoría de ingeniería certificada, y la herramienta resuelve el modelo lineal continuo; si tus variables deben ser enteras el problema es un programa entero y redondear puede no ser óptimo. Valida contra tus propios datos antes de comprometerte. Consulta nuestro Aviso Legal completo. OpsCalculators.com es operado por MAFHH INTERNATIONAL LTD. Tus datos se procesan en tu navegador y nunca se guardan; consulta nuestra Política de Privacidad.